巷の教科書の証明と、証明論の定義する証明のギャップは何かなと考えた時に、巷の証明は不明瞭に大量の推論規則を持っているという点がありそう。

「xxの定理より」みたいな推論ステップをよく見かけるけど、これはその定理を適用することを推論規則化して使っている。形式的論理体系ではこういう推論規則は普通は定義しない。