Formal system は色々と定義されている (ZFC, NBG, Peano axioms, ETCS, LK, etc) のに誰もそれを使って証明しないのはそれらの言語が人間が直接使うには原始的すぎて、普段やっている証明とかけ離れすぎているから、というのがあると思う。

普段使いできる Formal system であるためには、もっといろんな推論が出来ないといけない。けど、普段やっているような推論を Formal system に入れるためには、ものすごい複雑な定義が必要になってしまうので、誰もやらない